¨(Del lat. mathematica, y éste del gr. maqhmatikh, terminación femenina de maqhmatikoV); sust. f. (Ú. en plural porque se sobreentiende "[ciencias] matemáticas").
Ciencia que, por medio del razonamiento deductivo, estudia la cantidad y las relaciones entre sus componentes, ya sea en abstracto o refiriéndose a objetos o fenómenos determinadosSinónimos: Exactas. Ciencia que tradicionalmente ha tenido como misión profundizar en las nociones de Número, de Espacio, de Expresión analítica y más tardíamente de Probabilidad. Las matemáticas han surgido al hacer abstracción de los datos percibidos por los sentidos. Los números constituyen la primera abstracción. La recta y la circunferencia, lineas perfectas regulares y sin grosor, son también abstracciones, aunque debido a la familiaridad que se tiene con ellas, no lo parezcan. La escritura algebraica desarrollada por Descartes, esos signos que representan tanto incógnitas como cantidades conocidas, los signos operatorios que representan la suma, resta, la multiplicación y la división, y los que representan tanto la igualdad como la desigualdad atestiguan un esfuerzo prodigioso de abstracción por basarse ya en abstracciones. Estas abstracciones surgidas de la observación de la realidad, se han obtenido por exigencias de la necesidad: la numeración, de la necesidad de contar, de medir; las figuras geométricas de la necesidad de delimitar los dominios, de evaluarlos; las relaciones algebraicas, de la necesidad de establecer leyes, de legislar. En un sentido profundo se puede considerar a las matemáticas como el lenguaje de la ciencia ya que es el medio indispensable con el que la ciencia se expresa, se formula y se comunica, especificando y clarificando rigurosamente las leyes y conceptos de la misma. Si las matemáticas son el soporte lingüístico de todas la ciencias, y por tanto se aplican en este sentido, habrá que hacer una distinción entre matemáticas puras y matemáticas aplicadas. Mientras que las primeras están asociadas a la búsqueda de nuevos entes matemáticos y a sus propiedades, las segundas tratarán de encontrar a través de las relaciones matemáticas que traducen la leyes científicas, soluciones explícitas. Serán mucho más analíticas que sintéticas. Reharán en sentido contrario el camino seguido por el pensamiento al ir de la expresión sintética al ente elemental que la da origen, al valor de la variable, al número. Operarán por tanto con algoritmos principalmente.
Para un filósofo, o un científico o un lógico del finales del siglo XX "hacer matemáticas" significa esencialmente "hacer demostraciones". Pero este ideal sólo se definió progresivamente a medida que el cuerpo de conocimientos matemáticos se enriquecía con nuevas ramas, nuevas teorías y nuevos teoremas. Las matemáticas son una herramienta interdisciplinar imprescindible en todos los ámbitos de la ciencia; se dividen en dos grandes ramas, la pura y la aplicada.
La matemática pura tiene como principal objetivo el estudio de la cantidad, los números, el álgebra, la aritmética, y el estudio de los objetos descritos de forma colectiva como es la geometría, el análisis, el cálculo y la teoría de conjuntos.
La matemática aplicada, se centra en la aplicación de la matemática pura a la ciencia y la ingeniería en áreas como modelos, estadística, probabilidad, análisis de vectores, etc. Véase el apartado "Matemáticas: desarrollo histórico" en esta misma voz.
Como se verá más adelante, desde la noción de número, a lo que hoy en día significa la ciencia de la Matemática, se ha ido evolucionando con nuevas teorías dando paso a la aparición de numerosas ramas que se entrelazan y que, en muchas ocasiones se diferencian entre sí, no en la problemática que abordan si no en la forma en que lo hacen; así y aunque resulta difícil hacer una clasificación, se pueden distinguir 5 grandes ramas dentro de las Matemáticas: el Álgebra, el Análisis o Cálculo, la Geometría; la Teoría de las probabilidades y la Estadística.
La temática que aborda cada una de estas áreas se resume en el siguiente esquema:
Álgebra.
Rama de las matemáticas que estudia la cantidad en general, valiéndose de números y letras para representar simbólicamente las entidades manejadas.La palabra de origen árabe Álgebra se suele relacionar con los métodos para la resolución de ecuaciones. Sin embargo, el Álgebra significa mucho más; hoy designa el estudio de las estructuras abstractas con las que intentamos comprender las propiedades de los conjuntos de números y los distintos tipos de funciones. La lógica, que hasta ayer formaba parte esencial de los estudios humanísticos , es actualmente una de las ramas del Álgebra. La síntesis moderna entre la teoría de conjuntos y la lógica simbólica ha revolucionado los fundamentos del pensamiento. Pero, ayer, y hoy, el Álgebra, este "ars Magna" de los matemáticos del Renacimiento, sigue siendo una excelente guía práctica para resolver de una forma sencilla los problemas usuales que se presentan en el quehacer cotidiano y cuya resolución por métodos aritméticos sería mucho más ardua.
Cálculo o Análisis. Rama de las matemáticas que trata con dos operaciones fundamentales, la integración y la diferenciación que se realizan fundamentalmente sobre funciones. Parte de un desarrollo elemental de aspectos puramente teóricos de dichas operaciones y su interrelación y desarrolla reglas y fórmulas que se pueden aplicar al cálculo de funciones estándar, trigonométricas, algebraicas etc, lo que permite su aplicación a innumerables problemas prácticos de geometría, física, química, ingeniería, economía etc. Véase Análisis matemático.
El Análisis es una disciplina matemática que abarca diversas teorías. Las principales son: Teoría de las funciones. Véase Función matemática. Cálculo infinitesimal; que a su vez se divide en: Cálculo Integral. Véase Integral de una función. Cálculo diferencial. Véase Diferencial de una función.
Geometría. Parte de las matemáticas que estudia las propiedades de las figuras, las disposiciones de los cuerpos en el espacio y sus generalizaciones, aunque sean muy abstractas. Nacida en base a la observación empírica y exigencias prácticas, ha sido la primera disciplina a la que se le ha aplicado rigurosos procedimientos lógicos-deductivos gracias a pensadores de la antigua Grecia, procedimientos que han servido como ejemplo hasta el siglo pasado. Véase Geometría.
Estadística. Rama de las Matemáticas que se basa en la obtención de los métodos adecuados para obtener conclusiones razonables cuando hay incertidumbre. Esta ciencia tiene como principal objeto aplicar las leyes de la cantidad a hechos sociales para medir su intensidad, deducir las leyes que lo rigen y hacer un predicción próxima. Existen dos ramas muy diferentes dentro de la estadística: la estadística descriptiva y la estadística matemática.
Desde Pitágoras hasta Kröecker, han sido muchos los matemáticos que han pensado que la noción de número entero era la base de su ciencia y, por tanto de todos los fenómenos naturales. Esta noción tan simple, no ha dejado de generalizarse y de afinarse; así la Aritmética ha visto surgir paso a paso los números relativos y los números negativos, los números fraccionarios, irracionales, imaginarios, complejos, hipercomplejos, ideales etc. Las expresiones analíticas se han originado en el seno del Álgebra (en el sentido clásico de la palabra) y del Análisis. Operando tanto sobre números como sobre letras que representan números, combinándolos mediante diversas operaciones, comparándolos, el álgebra manipula con fórmulas ( que indican las operaciones que hay que realizar con los números y con las letras para llegar al resultado buscado), con ecuaciones (en las que una o más letras designan incógnitas que se trata de hallar), con funciones (en las que los valores que toman una o más de las letras pueden variar de manera que conviene saber describir y estudiar la historia de estas variaciones). El Análisis Infinitesimal estaba constituido inicialmente por los Cálculos diferencial e integral así como por la Teoría de las ecuaciones diferenciales (en las que se trata de averiguar, no un número desconocido sino una función desconocida). Con posterioridad ha visto ensancharse su campo de acción con la Teoría de las Ecuaciones en Derivadas parciales, después con el estudio de las Ecuaciones integrales y de las Ecuaciones integro-diferenciales, con el Cálculo de Variaciones y por fin con las Ecuaciones funcionales, en las que se trata de hallar una función a partir de ciertas de sus propiedades. El objeto de la Geometría era la noción de Espacio y ha conocido también muchas generalizaciones: La Geometría clásica estudia la forma y propiedades de las figuras pertenecientes a un espacio métrico euclidiano de tres dimensiones, que no es más que una idealización del espacio que nos sugiere la experiencia rutinaria. Partiendo de esta noción intuitiva, los geómetras han tratado después de un número mayor de dimensiones y, por último de una infinidad de dimensiones. Han considerado también espacios con propiedades diferentes de las del nuestro; espacios afines, proyectivos, riemannianos, etc desembocando estas generalizaciones en los espacios abstractos de un número cualquiera de dimensiones. La Geometría analítica ha permitido establecer un puente entre, por una parte, la Aritmética y el Álgebra y por otra, la Geometría. La Geometría infinitesimal ha permitido la aplicación del Análisis infinitesimal al estudio de las figuras del espacio. Por su parte, el Cálculo de Probabilidades que es la ciencia del azar (o Estocástica) extrae su savia de la ley de la separaciones y de la ley de los grandes números. El aspecto experimental de esta ciencia lo constituye la Estadística que ha invadido la mayoría de las Ciencias y de las técnicas y, entre las más recientes, la Investigación operativa.
Ciencia que tradicionalmente ha tenido como misión profundizar en las nociones de Número, de Espacio, de Expresión analítica y más tardíamente de Probabilidad. Las matemáticas han surgido al hacer abstracción de los datos percibidos por los sentidos. Los números constituyen la primera abstracción. La recta y la circunferencia, lineas perfectas regulares y sin grosor, son también abstracciones, aunque debido a la familiaridad que se tiene con ellas, no lo parezcan. La escritura algebraica desarrollada por Descartes, esos signos que representan tanto incógnitas como cantidades conocidas, los signos operatorios que representan la suma, resta, la multiplicación y la división, y los que representan tanto la igualdad como la desigualdad atestiguan un esfuerzo prodigioso de abstracción por basarse ya en abstracciones. Estas abstracciones surgidas de la observación de la realidad, se han obtenido por exigencias de la necesidad: la numeración, de la necesidad de contar, de medir; las figuras geométricas de la necesidad de delimitar los dominios, de evaluarlos; las relaciones algebraicas, de la necesidad de establecer leyes, de legislar.
Puede afirmarse que el pensamiento matemático fue producto, en gran parte, de dos aptitudes del espíritu humano: la percepción de la pluralidad, que casi pertenece al campo de la sensibilidad, y el poder de establecer correspondencias, emparejamientos, que, sin duda, es propio de la inteligencia. De esta manera, los primeros balbuceos matemáticos, culminaron en el arte de contar y, después, en la aritmética.
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Los textos matemáticos más antiguos que se poseen proceden de Mesopotamia, son textos cuneiformes que tienen más de 5.000 años de antigüedad. Los Mesopotámicos inventaron un notable sistema de numeración y los métodos fundamentales del álgebra, considerada como el arte de resolver ecuaciones. Se conoce la extensión de su saber aunque se ignora todo de sus métodos. Al parecer sus conocimientos geométricos fueron muy rudimentarios. Más simples todavía fueron los conocimientos aritméticos y geométricos de los egipcios, pese a las afirmaciones de los antiguos griegos y sobre todo si se comparan con los de los Babilonios.
El principal texto matemático egipcio encontrado es el Papiro del Rhind que fue escrito bajo el reinado del rey hicso Ekenenre Apopi, hacia el 1600 a. de J.C. De él se deduce que su sistema de numeración era un sistema decimal por yuxtaposición y no parece que supieran contar más allá de un millón. Sabían resolver por tanteo ecuaciones simples de primer grado de la forma "ax=b". En cuanto a la geometría, los problemas ofrecidos en este papiro se refieren a mediciones de superficies o volúmenes y son netamente concretos y vinculados a necesidades prácticas corrientes. En todos los casos se trata de recetas utilitarias y jamás se percibe en ellos un interés teórico.
Los fenicios en el primer milenio antes de J.C. crearon un sistema de numeración menos engorroso que el sistema egipcio y que luego sería continuado por los griegos en el siglo III a. de J.C.: el sistema de letras numerales o numerables.
Los chinos poseían un libro clásico de cálculo compuesto entre los siglos VI y I a. de J.C. en el cual se utiliza un sistema de numeración que comprende nueve signos diferentes para designar los números 1,2,3,4,5,6,7,8,9 y cuatro signos distintos para 10, 100, 1000 y 10000, más un signo para el cero. Este libro comprende también un saber geométrico elemental.
Por último en la India, la matemática, la religión y la filosofía se confunden. El saber geométrico hindú está resumido en el Sutra de Apastamba (un sabio que vivió posiblemente en el siglo V a. de J.C.), este tratado constituye una guía práctica del arquitecto.
Antes de Euclides, es decir aproximadamente entre 600 y 300 a. de J.C. se conoce el saber matemático griego gracias a un "Prólogo histórico" escrito en el siglo V después de Cristo por el neoplatónico Proclo que se inspiró en una Historia de la Geometría (perdida), escrita por Eudemo de Rodas, discípulo directo de Aristóteles, quien a su vez la conocía a través de una compilación perdida del filósofo Gemino (siglo I a. de J.C.). En este texto se enumeran los nombres de los geómetras griegos, sin precisar la naturaleza exacta de sus descubrimientos que fueron reconstituidos por la crítica erudita de los siglos XIX y XX. Entre los principales geómetras griegos que vivieron durante este período se pueden enumerar los siguientes:
- Tales, filósofo jonio de la escuela de Mileto, que importó a Grecia la ciencia geométrica de los egipcios. Los conocimientos de Tales y los de sus contemporáneos se limitaban a algunos principios, propiedades y teoremas rudimentarios no demostrados, como aquel que dice que "los ángulos en la base de un triángulo isósceles son iguales"; o "el diámetro divide a un círculo en dos semicírculos iguales"; o bien "las rectas paralelas determinan sobre rectas secantes unos segmentos proporcionales" (proposición conocida como el teorema de Tales).
- Pitágoras de Samos que vivió en el siglo V a. de J.C. (si es que llegó a existir) es por tradición el creador de un gran movimiento metafísico moral y religioso y también un científico. El saber pitagórico englobaba todo lo que hoy se conoce como geometría elemental. La propiedad enunciada como el teorema de Pitágoras era ya conocida por egipcios babilónicos e hindúes, aunque fueron los griegos de la escuela pitagórica los que la demostraron de manera general. Los pitagóricos fueron los primeros en analizar la noción de número, y en establecer las relaciones de correspondencia entre la aritmética y la geometría abriendo así el camino para la algebratización de esta ciencia que iba a ser una conquista de los tiempos modernos.
- En la época de Platón (hacia finales del siglo V a. de J.C.) hace aparición una tendencia metodológica que se caracterizaba por la necesidad de agrupar y ordenar el conjunto de los conocimientos matemáticos en un todo armonioso y coherente. El problema angustioso es el de los números incalculables, cuyo cuadrado es 2,3,5,7,11,13, ... Teodoro de Cirene y después Teetetes sobre el siglo IV demostraron progresivamente que las raíces de estos números eran cantidades irracionales. Otras novedades de los tiempos platónicos fueron la profundización de la teoría de las probabilidades y el establecimiento, por el astrónomo Eudoxo de Cnido de una teoría de la semejanza. Finalmente los matemáticos de este período abrieron nuevas vías a las investigaciones geométricas como la estereogeometría (geometría del espacio) que se empieza a desarrollar, uno de los grandes éxitos en este aspecto es la determinación por medio de métodos rigurosos de la construcción de polígonos regulares.
Por su parte, Euclides transformó el concepto de geometría en lo que hoy se conoce como geometría euclidiana, la matemática euclidiana se presenta, por lo menos en teoría, como un conjunto de deducciones lógicas fundadas en algunos principios simples a los que se da el nombre de hipótesis. Es una ciencia hipoteticodeductiva y hasta mediados del siglo XIX constituyó el modelo de toda teoría matemática. Los principios primeros, fundamentos últimos de todas las demostraciones euclidianas, fueron divididos en tres categorías por los comentadores clásicos:
-Las definiciones, que establecen las nociones fundamentales sobre la cuales se va a razonar
-Los axiomas, que enuncian verdades indemostrables válidas para todas las ramas de las ciencias
-Los postulados, que enuncian verdades que no pueden ser demostradas, pero que el maestro impone a su discípulo.
Euclides era profesor de matemáticas en Alejandría durante aproximadamente el siglo III a. de J.C. y redactó un tratado denominado "Los Elementos" en el que se exponían todos los conocimientos de su tiempo en esta materia. Esta obra estaba integrada por trece libros; los libros I al IV tratan de la geometría de la linea recta, de los triángulos, de los polígonos y del círculo; los libros V y VI conciernen a la teoría de las proporciones y de la semejanza; los libros VII, VIII y IX están dedicados a la teoría de los números enteros, el libro X a los números irracionales; los libros XI al XIII están reservados a la geometría del espacio y terminan en la construcción de poliedros regulares inscritos en una esfera. La aportación personal de Euclides en "los Elementos" , sin embargo parece ser limitadas y por lo tanto, a pesar de su fama, no fue un matemático de primerísima línea.
Arquímedes fue sin discusión el matemático griego más genial y más grande. Vivió en Siracusa de 287 a 212 a. de J.C y se ha conservado gran parte de su obra escrita en dialecto dorio. La originalidad de este científico aparece de inmediato al leer su tratado sobre el Método. En él Arquímedes insiste sobre el hecho de que puede existir progreso en los conocimientos científicos fuera del método deductivo riguroso ilustrado por Euclides. El análisis puro de carácter euclidiano, escribe Arquímedes, en substancia, no es un buen método de investigación: sólo es respetable en tanto que método de demostración y de exposición. Por ello, propone Arquímedes inclinarse hacia procedimientos físicos de descubrimientos, y buscar seguidamente una exposición lógica y demostrativa de los resultados obtenidos. Esta llamada a la analogía física y no a la intuición o al tanteo, condujo al genial matemático a unos descubrimientos esenciales para la prosecución de la historia de la matemática, en particular en lo que concierne a las magnitudes infinitesimales, en concreto introdujo la noción de cantidad infinitamente pequeña y la de límite. Por otra parte, el nombre de Arquímedes ha quedado vinculado al famoso número p y a su teoría de los cuerpos redondos (cilindro, cono, esfera), en este sentido, el gran matemático expresó que el número p estaba comprendido entre 3+ 10/71 y 3+10/70.
En el campo de la aritmética, Arquímedes que había comprendido la insuficiencia de la numeración tradicional, propuso "El arenario", un sistema totalmente nuevo, fundado en un notable análisis de la noción de número que permite escribir cualquier número por grande que sea aunque este número fuera superior "no sólo al número de granos de arena capaz de llenar toda la tierra, sino también a la masa de arena igual en volumen a todo el universo" como declara en "El arenario" ( este título deriva del título latino de la obra de Arquímedes: Arena).
Entre los matemáticos griegos del mismo tiempo o posteriores a Arquímedes, el nombre más importante es el de Apolonio de Pérgamo, autor de un Tratado de las cónicas, en siete libros, todos los cuales han llegado hasta nosotros. Contemporáneo de Arquímedes desarrolló con rigor la geometría de la elipse y realizó estudios sobre los lugares geométricos.
Después de Apolonio y hasta el siglo V después de Cristo, la geometría griega deja de evolucionar. Sin embargo fuera de la geometría se originaron en Grecia otras dos ramas de las matemáticas, bastante más tardíamente. La primera de ellas es la trigonometría cuyo inventor es el astrónomo Hiparco que vivió en la segunda mitad del siglo II a de C. Combinando la geometría y el arte del cálculo, Hiparco estableció unas tablas de cuerdas que dan las longitudes de dos cuerdas para diferentes valores de los ángulos de un triángulo, elaborando por tanto las primeras tablas trigonométricas de la historia.
Después de Hiparco, el Griego Claudio Tolomeo, que vivió en el siglo II d. de C., perfeccionó la trigonometría prosiguiendo los métodos y los teoremas de Hiparco.
La segunda rama de las Matemáticas que descubrieron o por lo menos en la que profundizaron los griegos, es el álgebra. En el siglo IV después de Cristo aparece, sin ningún precursor aparente, sin tanteos previos, un sorprendente tratado de trece libros, de los cuales se conocen seis, este tratado es casi perfecto, considerando los conocimientos de la época, y fue titulado "Las aritméticas" (Arithmetica). Su autor, del que no se conoce casi nada es un tal Diofanto, y en esta obra, establece el método de resolución de ecuaciones con una o varias incógntas, de primer o de segundo grado (en el caso general), y proporciona algunos ejemplos de solución de ecuaciones particulares de un grado superior a 2.
Cuando íbamos a cumplir nuestro primer año de edad nuestros padres muy alegres nos preguntaban: bebe, di cuantos años tienes, nosotros balbuceamos en un idioma que pensábamos estar comunicándonos y que a duras penas nuestros progenitores alcanzaban a entender (¡tal jeringonza!) pero realmente las risas y alegrías surgían cuando mostrábamos nuestro pequeño dedo índice indicando el primer año, en ese momento ya estamos predestinados a estar en este mundo matemático, del cual unos nos enamoramos y otros por el contrario hacen mala cara; pero piense por un momento, un mundo sin matemáticas, todavía estuviéramos en la era de las cavernas y sin disfrutar de las tecnologías que en este siglo se nos brinda. Si el físico matemático Johannes kepler no hubiera postulado sus tres famosas leyes del movimiento planetario entonces no supiéramos el movimiento de los astros ni la predicción de eclipses tan exactos, aún si olvidamos la famosa “Principia Matemática” de Sir Isaac Newton que es a grandes rasgos una representación matemática de los fenómenos naturales que puede ponerse a prueba mediante experimentos, tampoco podemos dejar de lado al príncipe de las matemáticas Gauss quien tuvo una proyección futurista y mucho menos al matemático Estanislao Ulam famoso por tener el mal del niño y quien logro descifrar las ecuaciones matemáticas de la bomba atómica , que los alemanes poseían en la segunda guerra mundial y que luego lanzaron los aliados; y es que no podemos dejar las matemáticas a un lado ya que es el apoyo del cartógrafo para diseñar planos , del historiador a separar edades y fechas ; y es que las matemáticas es la más codiciada de todas las ciencias ya que va inmersa en todas; o sea que por ella corre sangre azul o por el contrario puede ser la cenicienta de todas. La ceguera e insensibilidad al componente estético de las matemáticas está muy difundida, muchos la toman como la mas árida entre los desiertos, que es menos interesante que una guía de telefónica o la más llena de reglas que una escuela militar; ya que de antemano se ha ganado muchos detractores que no entienden su hermosura estética y por ser como es, se convierte en extraordinariamente vivaz y apasionante como ninguna otra creación de la mente parece serlo.
Por lo tanto tendríamos que redefinir la belleza desde el punto de vista axiológico y filosófico lo cual nos conduciría a reeducar el pensamiento y la postura de aquellos en los cuales no ha hecho metástasis la estética y belleza de las matemáticas.
Existe en matemáticas el juicio estético, el cual es de gran importancia, puede ser cultivado y transmitido de generación en generación y que nuestros alumnos (que mejor me gustaría llamar aprendices) son los directos receptores y transmisores del pensamiento, armonía y belleza matemática del futuro.
Si alguno preguntase si hay belleza en las matemáticas, se le tendría que decir que mirase a su alrededor contemple la obra creadora del gran maestro, porque solo alguien perfecto podría utilizar un lenguaje perfecto….las matemáticas
Surgió para dar una respuesta simplificada a realidades cotidianas.
La matemática ayudaba a entender el mundo y sus relaciones, pero expresándolo de forma concisa, sin ambigüedad.... para ello utiliza un lenguaje simbólico complejo, diferente al que adquirimos y utilizamos día a día.
Los estudiantes no trasladan automáticamente el lenguaje natural que utilizan habitualmente al sistema de escritura matemática, como puede suceder con el propio de otras materias, por ejemplo, Conocimiento del Medio.
Desde el punto de vista del proceso de enseñanza aprendizaje y en el marco de un aprendizaje constructivista, es el profesor quien actúa de mediador, junto con los libros de texto de la matemática. No se trata de rechazar el conocimiento que los alumnos han adquirido fuera del ambiente escolar, por medio de otras fuentes no académicas, conocimientos que son decisivos a la hora de iniciar cualquier nuevo conocimiento, se trata de que los alumnos aprenden de su profesor un conjunto de elementos socialmente aceptados de comunicar y exponer las realidades matemáticas.
Siguiendo los estudios realizados por Pimm podemos destacar algunas características de la metodología de la enseñanza matemática:
-Suele ser expositiva y auditiva.
No es normal la emision y la interrupcion de preguntas por parte del alumno.
Es poco corriente preguntarle a los alumnos como han intentado resolver un problema concreto.
Normalmente se utilizan discursos orientados a los oyentes, en este caso los alumnos.
No se emplean discursos orientados hacia el mensaje, verdadero objetivo del aprendizaje.
Se emplea un dialogo en el que las respuestas ya son conocidas de antemano por el profesor antes que el alumno de la respuesta.
El profesor siempre conoce las respuestas a las preguntas planteadas, se podrian calificar como pseudorrespuestas.
Las matemáticas, en plural, abarcan un conjunto complejo de actividades muy distintas las unas de las otras, a veces con aspectos muy diferentes, generan lenguajes propios pero en conexión con otras facetas y otros aspectos de su vida, veamos algunos ejemplos:
Aspectos que contribuyen al desarrollo del aspecto lógico y de todas las capacidades mentales. Si este aspecto es importante en cualquier etapa gana relevancia en la etapa de Educación Infantil ya que es el momento que el niño empieza a organizar su pensamiento. El establecimiento de relaciones es el primer paso para llegar al pensamiento abstracto, pero es necesario que el niño actúe, si sólo repite relaciones realizadas por otros difícilmente progresar. Encontramos esta faceta en el conocimiento de sí mismo y en el Conocimiento del Medio.
Aspecto numérico y operacional. Este aspecto supone el manejar un lenguaje concreto, propio pero no desligado de los objetos reales.
Aspecto de la medida, supone vincular la información recogida en el medio con el conocimiento de su entorno y de los objetos reales
Aspecto geométrico le permitirá manejar un lenguaje matemático propio pero a la vez perfectamente incardinado en su propio conocimiento. Generalmente el conocimiento y la situación en el espacio en la etapa infantil se aborda desde un punto de vista psicomotriz y a través del lenguaje visual y plástico.
La Educación Infantil es una etapa educativa durante la cual la evolución tanto física como mental de los niños y niñas es notoria. En esta etapa se inicia la posibilidad de establecer relaciones y de representaciones mentales gracias a la capacidad de simbolizar. Representarse cosas mentalmente es imprescindible para construir conocimiento matemático.
Pensando en los niños y niñas que asisten a la Guardería Nuestra Señora del Carmen, primer ciclo de Educación Infantil: 0, 3 años, hemos realizado un trabajo de 8 láminas, sobre las cuales nos planteamos elaborar tres tipos de preguntas basándonos en las ideas de Isabel Solé:
-Preguntas de respuesta literal: la respuesta la encontraremos literal y directamente en la fotografía.
-Preguntas de piensa y busca: la respuesta es deducible, pero requiere que el lector relacione diversos elementos de la fotografía y que en algún grado realice inferencias.
-Preguntas de elaboración personal: las respuestas encuentran un referente en la fotografía, pero no se pueden deducir del mismo; exigen la intervención del conocimiento y/u opinión del que está observando.
La formulación de estos tres tipos de preguntas sobre láminas encontradas en diferentes revistas, no se formularán en una única sesión, se irá eligiendo las más acordes a las circunstancias del momento y van encaminados a:
Ayudarse de lo visual para resolver problemas.
Formular preguntas buscando respuestas no uniformes: respuesta literal, deducible del contexto, (en este caso de la fotografía) y de elaboración personal.
Resolución de pequeños problemas
¿Cuántas personas pueden comer con las galletas que los niños han hecho?
4.Las respuestas que el profesor demanda son diversas en función de las preguntas planteadas, pero incluso cuando la respuesta el literal hay diferentes opciones:
¿Qué es esto? (referido a monedas)
Las respuestas válidas podrían ser: dinero, monedas, pesetas, duros....
Desarrollar aspectos lógicos y capacidades mentales.
Abordar aspectos numéricos y operacionales.
Vincular aspectos de medida a objetos reales.
OBJETIVOS:
Desarrollar el lenguaje oral.
Emplear un lenguaje para expresar y comprender las relaciones matemáticas
Aunar el uso del lenguaje verbal con el matemático para expresar este último.
Utilizar el apoyo visual para resolver situaciones matemáticas
Resolver preguntas con diferente grado de dificultad y diferente tipo de respuesta
CONTENIDOS.
Como conclusión cabría decir:
Debemos permitir que el alumno descubra las relaciones por sus propios medios, construyéndolo de forma activa, explotando su intereses naturales por jugar, observar, experimentar y en definitiva por aprender.
BIBLIOGRAFÍA.
Revista Cultura y Educación abril de 1996. Elena Barberà “La función del lenguaje en al educación matemática”.
Revista in-fan-cia. Mayo, junio 1993. Mª Antonia Canals. “La matemática en educción infantil, ¿un lenguaje o algo más?
Revista Aula. Nº 96 Rosa Mª Ranírez y Teresa Serra “Hablamos de matemáticas”
Revista Escuela en acción. Mayo de 2000. Experiencias “Actividades numéricas para compartir”.
Revista UNO. Nº 1 jli de 1994 Monserrat Torra Billoch. ¿Para qué es necesaria la matemática en educación infantil?
“Estrategisas de lectura” I. SOLE. Ed Graó. Barcelona 1992
UNA TAREA NECESARIA.
(La investigación en educación matemática de los jóvenes y adultos).
Universidad Pedagógica Nacional
¿Es necesario investigar sobre la educación matemática de los jóvenes y adultos? Esta es una pregunta que hoy está en el aire. Para muchos, es una tarea en la que ya no es pertinente invertir. No estoy de acuerdo con tal postura, no la creo ni inteligente ni justa. En lo que sigue expongo los argumentos de mis afirmaciones.
1. Lo que sabemos
En la Conferencia Mundial de la UNESCO realizada en Persépolis (1975) comenzó a tomar forma la idea de que los adultos sin escolaridad no eran ignorantes, sino que eran sujetos con estructuras lógicas claras, con una cultura propia y con demostradas capacidades de pensamiento abstracto (cf. Schmelkes y Kalman; 1996). Para el caso de las matemáticas, en la década de los ochenta tal idea dio origen a importantes trabajos de investigación en la región latinoamericana. De hecho, parecía que habría un "boom" investigativo cuyo motor era desentrañar los saberes matemáticos que los adultos no escolarizados habían desarrollado en su experiencia de vida, así como conocer las condiciones de su producción y la lógica de su funcionamiento. Se realizaron estudios sobre los saberes aritméticos de los analfabetos y sobre sus formas de operar y enfrentar problemas cotidianos en diversos países: Colombia, (cf. Mariño; 1983 y 1986) Chile (cf. Soto; 1992), Brasil (cf. por ejemplo Schielman y Acioly; 1989) y México (cf. Ferreiro 1987; Avila; 1989). En ese entonces se clarificó la habilidad de cálculo que es posible desarrollar en la experiencia de vida; también la lógica con que dicho cálculo funciona. Todas las investigaciones llegaron a una conclusión en común: los adultos analfabetos o con escasa escolaridad, son sujetos que enfrentan (con mayor o menor eficacia) los problemas matemáticos que la vida les plantea y lo hacen con una lógica coherente y peculiar. En relación con el saber escolar, las afirmaciones derivadas de los distintos estudios también fueron similares: la que se enseña en la educación de adultos es una matemática ajena, memorística y sin sentido, menos significativa y flexible que la que se ha construido en la vida.
Pero en dirección opuesta de lo que este conjunto de trabajos hacían suponer, en los años noventa las investigaciones fueron más escasas. Se cuentan por ejemplo los de Avila o los de Knijnik (Avila; 1994; Knijnik; 1995); la primera indagaría los saberes relacionados con el campo de los números racionales y la segunda el asociado a la medición de la tierra. Otros trabajos fueron desarrollados, principalmente en Brasil - que gracias a la filosofía freireana, constituyó una tradición importante en educación de jóvenes y adultos - pero su difusión ha sido escasa.
En esta década, por otra parte, se agregaría al campo una redefinición. Los círculos de estudio tradicionalmente frecuentados por adultos comenzaron a ser poblados por jóvenes urbanos desertores del sistema regular a temprana edad (cf. por ejemplo Rivero; 1996); la educación de adultos se convirtió entonces en para jóvenes y adultos. Así, los investigadores de la educación matemática de la región, estudiaron también a los jóvenes asistentes al servicio educativo (Carvalho; 1995; Avila; 1997). Esta incorporación implicó una ampliación (también una complejización) del objeto de investigación y, al menos en principio, lo puso más cerca de la posibilidades de financiamiento pues las agencias y los gobiernos consideran que los jóvenes son sujetos más rentables que los adultos envejecidos (cf. Rivero; 1996). A pesar de tal acercamiento, hasta el momento la producción que se ha difundido sigue siendo limitada.
· Reuniones importantes sobre el tema
A fines de los ochenta y en la década de los noventa, primero el CEAAL (1989), luego la UNESCO (1993) y posteriormente la OREALC (1995) promovieron reuniones sobre la formación matemática en la educación de los jóvenes y adultos. El intercambio entre los investigadores de distintas regiones fue intenso y dio resultados. Sobre la base de investigaciones previamente realizadas, se abordaron temas acerca de los saberes construidos en la vida y los retos y desafíos que éstos implicaban; se discutieron propuestas curriculares y se imaginaron nuevas formas de acercar a los adultos y a los jóvenes a la matemática formal. Todas estas reuniones produjeron memorias que después serían distribuidas en muchos países, aunque ciertamente en tirajes reducidos. Desafortunadamente, ni la investigación generada en el periodo ni estas reuniones han tenido repercusión importante. Lo que parecía el inicio de una línea de investigación fértil y vigorosa, ha permanecido sólo como promesa.
· El estancamiento en la producción
Debo decir que mis reflexiones no derivan de una indagación sistemática, hay sin embargo indicadores que permiten suponer situaciones de estancamiento no sólo en México sino en otros países. A continuación anoto algunos:
En Brasil, la importancia que en general los educadores involucrados en la alfabetización de jóvenes y adultos atribuyen a la matemática no encuentra respaldo en la producción generada (cf. Ribeiro et. al: 1992). Además de los trabajos derivados de la psicología cognitiva que enfocan las capacidades matemáticas de los adultos analfabetos (como los de Shlieman, Acioly y Carraher) y que provienen de los años ochenta, se cuentan escasos trabajos vinculados a los procesos de adquisición de conocimientos aritméticos (Ribeiro et. al. 1992). Orlando Joia reconoce desarrollos ulteriores, pero afirma también que la producción se limita a unos cuantos trabajos (cf. Joia; 1997).
Los índices de las principales revistas de investigación mexicanas o las memorias de los dos últimos congresos de investigación educativa son más que elocuentes. En ellas no hay reportes sobre el tema. El único artículo que toca la cuestión de la educación matemática es el de Knijnik (1997), publicado en la revista Latinoamericana de Estudios Educativos.
Organizaciones no gubernamentales tradicionalmente dedicadas a la temática en Colombia hoy han orientado sus acciones a otros ámbitos que resultan de interés para las agencias financiadoras.
2. Factores que inciden en la escasez de investigación en educación matemática de jóvenes y adultos.
La situación anterior no es casual. Diversos factores explican este estado de cosas:
· La escasez de financiamiento
Generalmente se menciona que la investigación en educación de adultos tiene como principal obstáculo para su realización el hecho de que los gobiernos han dejado de considerarla prioritaria y, resultado de esto, la escasez de financiamiento con que cuenta para su desarrollo. Comparto sin reparo tal idea, pero en el caso de las matemáticas, se agregan otros elementos que obstaculizan el desarrollo de la investigación. Los dos que menciono en seguida me parecen sobresalientes.
· La simplificación social que se ha hecho de la cuestión
Hace no mucho tiempo escuché decir a un funcionario vinculado al sistema estatal de Educación de Adultos que la enseñanza de las matemáticas a los adultos no ameritaba demasiada reflexión, que la cuestión de su aprendizaje era tan simple como el hecho de que <<2 + 2 son 4>>. Curiosamente, la misma frase escuche de voz de un joven que se iniciaba como alfabetizador y que se acercó a mí para informarse acerca de las técnicas para enseñar la lectura y la escritura, pues la vida lo había puesto en tal predicamento. La cuestión puede parecer anecdótica y trivial, pero está lejos de serlo. El dos más dos son cuatro, como D´Ambrossio (1995) ha señalado, no concede variaciones o relativismo alguno a las necesidades, los deseos o las formas de saber y conocer de las personas. Elimina también de tajo cualquier posibilidad de complejización del objeto al que refiere en tanto que ámbito de investigación. Pongo este ejemplo, burdo si se quiere, como signo de la simplificación que socialmente se ha hecho del tema y que alcanza a alfabetizadores e incluso a quienes toman decisiones sobre la educación de jóvenes y adultos. Sus consecuencias, me parece, son profundas. Pero hay otro obstáculo que se agrega a los anteriores.
· La temporalidad dominante en las instituciones que ofrecen educación de adultos
En los hechos, el aprendizaje formal de las matemáticas elementales no es reconocido como una cuestión sustancial en las instituciones encargadas de ofrecer el servicio de educación de jóvenes y adultos. Como antes señalé, es frecuente que éstas consideran que el asunto no reviste demasiada importancia; adicionalmente, tal situación se agrava porque generalmente hay prisa de entregar a la sociedad la nueva propuesta, la que erradicará el problema del analfabetismo y el rezago, o al menos la que permitirá mencionar cifras y logros como resultado de una administración. Paradójicamente, este apresuramiento no permite ofrecer las respuestas adecuadas y obliga a re-comenzar cada vez que cambia una administración, pues las propuestas finalmente nunca satisfacen a nadie. Por supuesto, en este marco, deviene impensable que el currículum en cuestión sea producido sobre la base de la investigación o la experimentación sistemática.
El hecho es que a la escasez de recursos que las instancias financiadoras invierten en la investigación y a la simplificación social que se ha hecho del asunto, se agrega esta condición institucional que define los tiempos posibles de elaboración y reflexión sobre las propuestas de aprendizaje formal para los jóvenes y adultos y que, en la práctica hacen imposible la investigación como sustento de los currícula y modelos educativos que se ofrecen. La conjunción de tales factores ha dado como resultado el estancamiento de la investigación en el ámbito.
3. La importancia de la investigación en educación matemática de los adultos
Uno de los principios que rigen a la investigación es que ésta debe realizarse sólo por el afán de conocer, por el interés de explicar. Conforme a tal principio, la investigación que permitiese explicar la lógica matemática de las personas no escolarizadas, su vínculo con el mundo y su relación con los saberes formales que se trasmiten escolarmente, tendría existencia por derecho propio. Sin embargo, para quienes éste resulte un principio excesivamente purista, hay otras razones que pueden agregarse a la anterior:
La enorme población potencialmente demandante del servicio de alfabetización y de educación básica;
Uno de los intereses fundamentales por la alfabetización y la educación primaria es el manejo de las operaciones básicas (las cuentas, dicen las personas).
La incapacidad de atracción y retención en los servicios educativos ha sido asociada repetidamente a la falta de significatividad y relevancia de los contenidos, así como a la rigidez de las modalidades y los programas que se ofrecen.
4. ¿Hacia dónde debe ir la investigación?
A continuación propongo algunos puntos para una agenda de investigación en cuestiones de aprendizaje matemático formal de los jóvenes y adultos. Para la definición de tales puntos he considerado que en la acción educativa participan: el joven o el adulto, el agente educativo (el asesor) y el conocimiento matemático del cual aquéllos se pretenden apropiar.
Sin duda es el joven o el adulto el elemento de la tríada que nos es más familiar, (los trabajos anotados en el inciso dos, en general refieren a él). Conocemos de su forma de actuar cotidiana con las matemáticas, la cual es flexible e inteligente aunque a veces también limitada, muy apegada a los hechos. Sabemos también de la originalidad en el hacer y de la notable regularidad en la lógica que lo orienta. Del asesor, en cambio, sabemos muy poco o casi nada. José Rivero afirma que "El educador de adultos en América Latina expresa heterogeneidad de situaciones formativas, niveles y funciones prácticas docentes diversas, así como puntos de partida, concepciones, enfoques, experiencias de educación y metas diferentes. Si hubiese un rasgo común que los identificara colectivamente, este sería la tradición de utilizar la transmisión del conocimiento como único procedimiento pedagógico para desarrollar la capacidad del educando de repetir lo trasmitido" (Rivero; 1996; 35). En el caso de México la situación es peculiar, pues se ha considerado la alfabetización y la educación de adultos como tarea que no requiere estudio ni especialización; un campo ligado eminentemente a la buena voluntad. Continúa arraigada la idea de que cualquiera que sabe leer y escribir puede convertirse en alfabetizador (cf. Schmelkes y Kalman; 1996).
La complejidad del proceso de construcción de saberes matemáticos específicos ha sido puesta de manifiesto por la didáctica de matemáticas. Esta dificultad - me parece - se agudiza cuando los aprendientes son sujetos que han construido un número importante de saberes en el contexto cotidiano. Resulta pues fundamental conocer al promotor del aprendizaje matemático formal, analizar sus saberes, sus creencias y su participación real en el proceso así como las condiciones y posibilidades de una formación conveniente para el desarrollo de su labor.
Sobre el tercer elemento de nuestra tríada, el saber, tenemos también pocos conocimientos. ¿Qué debe ofrecerse a los jóvenes y adultos que no tuvieron en la infancia experiencias de aprendizaje formal, o que si la tuvieron pronto las abandonaron? Esta pregunta reviste una enorme complejidad ¿O es que acaso pueden enseñarse, sin más, las operaciones aritméticas, o la numeración, o las fracciones a personas que calculan con base en una lógica que les es propia, y muchas de las cuales actúan prácticamente como expertos? Caben además otras interrogantes: ¿Convendrá abandonar la geometría tradicional y centrar los esfuerzos en aumentar la destreza para leer mapas, planos o croquis, cuestiones especialmente necesarias para quienes viven en las grandes ciudades?
En síntesis, la gran pregunta es: ¿Cuál es el saber con el que se ha de poner en contacto a los jóvenes y adultos y qué versión didáctica de ese saber hay que elaborar?
· El joven y el adulto en tanto que sujetos de aprendizaje formal
Dije antes que el polo que nos es más conocido es el de los jóvenes o adultos, sin embargo, no es suficiente estudiar al joven o al adulto en tanto que sujetos cognoscentes, sino también como sujetos en relación con el aprendizaje matemático formal. De esto último sabemos también muy poco. Algunos puntos resultan especialmente claves para la investigación:
¿Cómo hacer transitar del mundo del cálculo ágrafo al mundo de la escritura matemática, cuyo carácter convencional y simbólico resalta especialmente ante las personas que se han manejado durante muchos años con base en un sistema de cálculo individual y que no ha necesitado de la escritura? El cálculo mental es un sistema que funciona con unas reglas que se han probado durante largo tiempo. ¿Cómo introducir al mundo de los algoritmos escritos si las reglas de éstos contradicen generalmente los mecanismos de cálculo mental? No se trata de mentes en ciernes, sino en ocasiones incluso de un pensamiento experto. Mi experiencia en un círculo de alfabetización es que, para la mayoría de las personas, resulta sumamente difícil el tránsito a la escritura matemática convencional, particularmente la que refiere a los algoritmos de cálculo; lo que se sabe de antemano, se constituye por regla general en un obstáculo, en el sentido bachellardiano de algo que impide aceptar y comprender lo nuevo. Orlando Joia plantea el problema de esta manera:
"[...] los adultos insisten en recuperar, en el aula, conceptos, procedimientos y nociones matemáticas que construyeron en el espacio cotidiano y de trabajo, independientemente de lo que sus profesores les quieren enseñar". (Joia; 1997; 27).
La conclusión que por ahora puedo extraer es que falta mucho por indagar para estar en condiciones de ofrecer respuestas curriculares convenientes a los jóvenes y los adultos. La relaciones entre los dos espacios donde las personas construyen conocimientos matemáticos: el de la escuela y el de la vida cotidiana son complejas. La frase hoy frecuentemente pronunciada "hay que considerar los saberes previos" reviste una complejidad tal vez inimaginada por quienes la pronuncian. Esta complejidad constituye un objeto de investigación prácticamente intocado.
En fin, que la investigación sobre la educación matemática de los jóvenes y adultos tiene importancia y validez no sólo por su interés explicativo, sino también por su potencial utilidad social. Porque lo que hemos dado en llamar investigación en didácticas específicas, nos lo propongamos o no, tiene una doble cara: la del saber que es capaz de producir y la de la utilidad que este conocimiento puede tener. Es una condición de fortaleza y de riesgo. Quienes trabajamos en ella, hemos de poner bajo vigilancia nuestro deseo de que alguna de estas caras gane excesiva primacía.
